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一道题的解题历程
——习题研究的价值(胡磊)
编辑日期:2017-12-14  发稿人:宣传部戴巧辰    阅读次数: 次  [ 关 闭 ]

前几天,学生来问了一道题,题目大体如下:

“已(yi)知(zhi),如(ru)图1,在△ABC中,AB=AC=4,BC=7,如(ru)图2,在BC边取(qu)一点(dian)D,连接AD,使(shi)得∠DAC=∠C,将(jiang)△ACD沿AD对折后得到(dao)△AED,连接BE,求BE的长

对于这道题,起初的思路是:

BDAE的交点记为F,先证△ABC∽△DAC,得到CD=16/7BD=33/7,进而得到AD=CD=16/7

再证ABD∽△FAD,得到DE=16/231,进而得到BE=(33-16)231

最后证ABD∽△FBE,利用AB/BD=BF/BE得到BE=17/4.

这种解法的问题是:(1)步骤中证明ABD∽△FBE是个难点;(2)整个过程的计算量和计算难度都不小,于是我查询了网络上关于这道题的解法,基本思路都差不多,但这类解法对于班里大部分同学来说,难度不小!所以我对本题做了进一步的研究:

  根据题意可知AB=AE=AC=4,由此可看成点BEC都在A上,且半径是已知量,或许这道题可以用圆的思想来解决?(如图1-1)延长EAG使得GA=EA,连接BG,得到RtGBE,根据勾股定理可求BE的长,接下来,问题就转化成如何求BG的长!

                                      

1-1                       1-2                                         1-3

  一开始猜想BG=BC,于是尝试证明△ABG≌△ABC,但利用角度验证发现不对,原因如下:设∠ABC=α,则C=1=2=αBAC=180°-2α,得到3=180°-4α,进而得到BAG=4α,由此可见BAC不一定等于BAG.如图1-2

  正所谓“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”,发现∠GAC=∠BAC=180°-2α,连接CG,可得△ACB≌△ACG,进而CG=BC=7,此时再延长CA交BG于点H,易得CH⊥BG,同时惊喜地发现BE=2AH(AH是△BEG的中位线,则不需要求BG了),问题最终转化为求AH的长!(如图1-3

关于AH的长,可利用勾股定理列方程4²-AH²=7²-(4AH)²解得AH=17/8,最终求得BE=17/4.

回顾整个过程,这种解法涉及到的计算量和计算难度相对简单很多,同时避开了证明三角形相似这一难点,当然也存在着一些不足之处,敬请指正.

2018年12月(yue)6日

 
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